线性弹性力学

设弹性体占据空间区域 ，其边界为 。为简化讨论，假设边界条件为全固支（Clamped），即在边界上位移为零：

设 为弹性体内点 的位置矢量， 为变形后的位移矢量，则位移矢量为

令 为无限接近 的另一个点，则 和 为变形前后的连接两点的微元向量，

因此，变形前线元 的距离平方为：

变形后：

其中，

称为 Green-Lagrange 应变张量。当变形很小时，位移梯度 是一阶小量，我们可以忽略其二次项，从而得到线性应变张量：

根据 Hooke 定律，对于各向同性线弹性材料，应力张量 与应变张量 之间存在线性关系：

其中 为杨氏模量， 为泊松比。该关系也可以用四阶弹性张量 表示：

其中 和 分别为 Lamé 常数：

以张量形式表示为：

根据静态平衡，作用于弹性体内任意一微元体积 的合力应为零。这包括体力和面力：

其中 是单位体积的体力， 是在边界面 上的面力密度， 为外法向矢量。根据 Gauss 散度定理，可将面积分转化为体积分：

由于上述等式对任意体积 均成立，被积函数必须在 上几乎处处为零，得到平衡方程的微分形式（亦称强形式）：

或者用分量形式表示：

在处理连续介质力学问题时，除了上述微分形式（强形式），我们常采用积分形式（弱形式）或能量最小化形式。定义容许位移场空间 ，对于固支问题，容许函数在边界上为零：

虚功原理指出：对于一个处于平衡状态的变形体，在外力作用下，对于任意满足位移边界条件的虚位移，外力所做的虚功等于物体内部储存的虚应变能。

设 为任意虚位移场（测试函数）。

• 外力虚功：仅由体力 产生（因边界固支，面力不做功）：

  

  

• 内力虚功：应力在虚应变 上所做的功：

  

  

根据虚功原理，我们得到平衡方程的弱形式：寻找 使得

定义双线性形式 和线性泛函 ：

则问题表述为：寻找 使得 。

最小势能原理指出：在所有满足位移边界条件的容许位移场中，真实位移场使得系统的总势能取最小值。

系统的总势能 定义为应变能 减去外力势能 ：

其中：

因此，总势能泛函为：

最小势能原理表述为变分问题：寻找 使得

下面证明上述三个问题在数学上是等价的。

Proposition 1.2.1. 位移场 是总势能泛函 的极小值点，当且仅当它满足虚功原理方程 。

Proof. 考虑泛函 在方向 上的 Gâteaux 导数。令 ，考察函数 ：

利用双线性形式 的对称性，即 ，整理得：

计算 处的导数，即泛函的一阶变分 ：

根据变分法原理， 使 取驻值的必要条件是对于任意 ，一阶变分为零：

这正是虚功原理的表达式。 此外，由于弹性张量正定，应变能 。二阶变分 非负，说明 是凸泛函。因此，驻值点即为全局极小值点。证毕。 ⁠ 

Proposition 1.2.2. 如果足够光滑的位移场 满足虚功原理（或最小势能原理），则它满足微分形式的平衡方程 。

Proof. 从虚功原理出发：

利用应力张量的对称性 ，我们有

将上式代入积分，并对第一项进行分部积分：

由于测试函数 在固支边界 上为零，即 。因此，边界积分项消失。 虚功方程变形为：

移项合并：

根据变分法基本引理，由于积分对任意 均成立，则括号内的项必须在 内几乎处处为零：

此即微分形式的平衡方程。 ⁠ 

在经典的位移法中，应力是位移的导出量。而在混合形式中，我们将应力 与位移 同时视为独立的未知量。 首先引入柔度张量。本构关系 可重写为：

对于各向同性材料，柔度张量的作用形式为：

考虑齐次位移边界条件，线弹性问题的强形式方程组为：

为了建立变分形式，我们需要为应力和位移选择合适的函数空间。在混合方法中，通常要求应力的散度平方可积，而放宽对位移连续性的要求：

定义如下双线性形式 与 ：

下面推导混合弱形式：

1. 对本构方程点乘测试函数 并积分：

   

   

   利用分部积分公式，考虑到 ：

   

   

   因此第一式变为：。

2. 对平衡方程点乘测试函数 并积分：

   

   

   从而有 .

综上，混合弱形式为：求 使得

这是一个典型的 KKT 系统（Karush-Kuhn-Tucker system）。

上述混合弱形式方程组恰好对应于一个拉格朗日泛函的驻值点条件。定义 Hellinger-Reissner 泛函 为：

其中，项 对应于余能（Complementary Energy），而 充当了通过拉格朗日乘子 施加的约束项。

Hellinger-Reissner 变分原理可表述为：混合弱形式的解 是泛函 的鞍点。即：

Proposition 1.3.1. 若 是 Hellinger-Reissner 泛函的鞍点（即满足混合弱形式），且解具有足够的正则性，则它们满足强形式的平衡方程和本构方程。

Proof. 鞍点意味着泛函在 处关于任意方向 的一阶变分为零。

1. 对应力变量 的变分： 首先计算泛函关于第一个变量 的变分。对于任意 ，变分结果为：

   

   

   令 取驻值点 ，并令变分为零：

   

   

   代入具体积分表达式：

   

   

   若解 具有足够的正则性，则对第二项进行逆向分部积分（注意 ）：

   

   

   于是：

   

   

   由 的任意性，可得本构方程：

   

   

2. 对位移变量 的变分： 计算泛函关于第二个变量 的变分。对于任意 ，变分结果为：

   

   

   令 取驻值点 ，并令变分为零：

   

   

   展开 ：

   

   

   合并同类项：

   

   

   由 的任意性，可得平衡方程：

   

   

⁠ 

上一章介绍了三维弹性体的经典线性化理论，一切弹性体都是三维的，因此原则上都可以直接运用上述一般性的三维理论去解决。但是实际中许多典型的弹性结构在几何形体和力学上有其特殊性，例如薄的板壳、细长的梁杆以及种种对称性等。对此要笼统地按一般三维模式去解决往往是很不经济，而且也是不必要的。

平面弹性问题是弹性力学中一个重要的简化模型。在该问题中，位移 只依赖于两个空间坐标 ，而与第三个坐标 无关，即

平面应力问题是平面弹性问题的一种，主要针对薄板的板平面内的变形。此时载荷平行于薄板平面并沿薄板厚度均匀分布，两个板面（法向设为 ）完全自由，在板面上有

由于板很薄，所以在板的内部也有此关系式。

用 表示原弹性体的一个标准断面， 为其边界。假设边界条件为全固支（Clamped），即在边界上位移为零：

约定下标 只取值 。

将条件 代入三维弹性体的 Hooke 定律，可得

由应变定义，则

所以 为常数，从而可知在二维平面应力问题中，只有 的自由量。因此位移与应变的关系为

通常不为 ，由平面应力条件 决定。

将平面应力假设 带入 Hooke 定律，可解得厚向应变

再将上式带入三维 Hooke 定律，并令 ，得到等效二维本构：

其中 为抗拉刚度。或

其中 为二维等效 Lamé 常数。

由三维平衡方程 ，令 ，并注意到 ，得到二维平面应力问题的平衡方程：

定义容许位移空间：

令 为任意虚位移场。则

• 外力虚功：

  

  

• 内力虚功：

  

  

虚功原理的弱形式为：求 使得

定义双线性形式与线性泛函：

则弱形式为：寻找 使得

定义总势能泛函为应变能减去外力势能：

其中

因此

最小势能原理表述为：寻找 使得

Proposition 2.2.1.

位移场 是总势能泛函 的极小值点，当且仅当它满足虚功原理方程

Proof. 与三维情形完全类似。考虑 的 Gâteaux 导数，并利用 的对称性：

因此 等价于虚功原理。 又因平面应力弹性张量仍正定，，从而 为凸泛函，驻值点即为极小值点。证毕。 ⁠ 

Proposition 2.2.2.

若足够光滑的位移场 满足虚功原理（或最小势能原理），则它满足强形式的平衡方程

Proof. 从虚功原理出发：

由于 且 ，有

对第一项分部积分：

因为 于 ，边界项为零，得

即

由变分法基本引理，得到

证毕。 ⁠ 

在平面应力的混合方法中，将应力 与位移 同时视为未知量。定义平面应力弹性张量 及其逆 ，使得

对于各向同性材料， 的作用形式可写为：

考虑齐次位移边界条件，平面应力问题的强形式可写为：

选择应力与位移空间：

定义双线性形式 与 ：

推导混合弱形式：

1. 对本构方程与测试函数 作内积并积分：

   

   

   利用分部积分并注意 ：

   

   

   因此得到

   

   

2. 对平衡方程与测试函数 作内积并积分：

   

   

   即

   

   

综上，混合弱形式为：求 使得

定义 Hellinger-Reissner 泛函 ：

Hellinger-Reissner 变分原理表述为：混合弱形式的解 是 的鞍点：

Proposition 2.3.1.

若 是 Hellinger-Reissner 泛函的鞍点（即满足混合弱形式），且解具有足够的正则性，则它们满足强形式的本构方程与平衡方程：

Proof. 鞍点条件等价于 在 处对任意方向 的一阶变分为零。

1. 对应力变量的变分：

   

   

   在驻值点令其为零，得

   

   

   展开并对第二项逆向分部积分（注意 ）：

   

   

   由 任意性得

   

   

2. 对位移变量的变分：

   

   

   在驻值点令其为零，得

   

   

   即

   

   

   由任意性得到

   

   

证毕。 ⁠ 

薄板的弹性变形有两种典型模式，一是在纵向（板平面内）载荷作用下的纵向伸缩变形，二是在横向（垂直于板平面）载荷作用下的横向变形，即弯曲。

薄板的纵向伸缩变形就是平面应力问题，已经在上一章讨论过。在薄板的弯曲变形中，由于板很薄，其厚度远小于其他两个方向的几何尺寸，为了得到弯曲变形，只需在板面上加以不大的载荷，至少它们是远小于由此产生的内部的纵向伸缩应力。因此在三维弹性体的边界平衡方程中可以略去载荷 ，而得到

这里 为边界面的外法向。由于考虑的是小变形，可以认为弯曲后板的外法向 平行于 轴：。这样，在板面上应有

又由于板很薄，上述关系式在板的内部也成立。在此基础上，我们可以假定

在板体内成立，至少 相对于其他应力分量是小量。这一点与纵向伸缩变形的 Equation 1 相同。

另一方面，薄板在弯曲变形时，内部的纵向纤维产生拉伸或压缩。在板的向外凸的一面是拉伸，在凹的一面是压缩。从拉伸逐步变到压缩，中间存在一个没有纵向伸缩的中立面，中立面两侧的变形相反号。显然，中立面对称于上下板面，即位于板厚的中间。

取变形前的中立面 为 平面，即 。 设 为板厚，满足 。假设边界条件为全固支，即在边界上位移为零：

约定下标 只取值 。

中立面上的三个方向的位移为

由于板很薄，可以认为挠度 沿板厚是一致的，即

因此

由 Equation 2 式，应变 。由应变定义，有

积分得到

由于是小变形，，所以

记 。则应变通过横向位移 表示为

命

其为中立面经过弯曲的曲率张量的一阶近似，于是

由于 Equation 1 和 Equation 2 相同，薄板弯曲变形的应力应变本构关系与平面应力问题相同：

命

将本构关系带入，即得

其中 为弯曲刚度。上式就是薄板弯曲变形模式下的胡克定律，形式上与伸缩变形时相似，但是这里刻画“应变”的是曲率 ，刻画“应力”的是弯矩 。

假设体力 ，则对三维平衡方程 乘以 并沿厚度积分：

第一项利用弯矩定义得 。第二项分部积分为：

由于板面剪应力为零（自由表面），边界项消失。定义横向剪力

则有力矩平衡：

对三维平衡方程 沿厚度积分，

定义等效的中面横向载荷

则可得横向力平衡：

将力矩平衡式代入横向力平衡式消去 ，得到用弯矩表示的平衡方程：

结合本构关系，对于均匀各向同性板， 为常数，从而s可导出关于挠度 的双调和方程：

在薄板弯曲问题中，应变能包含挠度的二阶导数，因此容许位移场空间需要更高的正则性。对于固支边界条件，取容许空间为：

令 为虚挠度场。

• 外力虚功：

  

  

• 内力虚功：弯矩在虚曲率 上所做的功：

  

  

虚功原理指出：求 使得

定义双线性形式 和线性泛函 ：

定义薄板弯曲应变能

外力势能

总势能泛函

最小势能原理表述为：

Proposition 3.2.1. 位移场 是总势能泛函 的极小值点，当且仅当它满足虚功原理方程 。

Proof. 与三维与平面应力情形相同。对任意 ，考察 ：

利用 的对称双线性，得

因此一阶变分

故驻值条件 等价于虚功原理。又由弯曲刚度张量正定，可得 ，从而 为凸泛函，驻值点即为极小值点。证毕。 ⁠ 

Proposition 3.2.2. 若足够光滑的位移场 满足虚功原理，则它满足强形式的平衡方程 。

Proof. 从虚功原理出发：

对左端项进行两次分部积分。第一次分部积分：

第二次分部积分：

对于固支板， 且 在边界上成立。因此，所有边界积分项均为零。 方程化为：

即

由 的任意性，得到平衡方程 。 ⁠ 

在薄板弯曲的混合形式中，将弯矩 与挠度 同时视为未知量。由本构方程，可写为

其中 表示对称曲率张量 ， 为薄板弯曲刚度算子。引入柔度算子 ，使得

对各向同性薄板， 的作用可显式写为

其中 ， 为 单位阵。

考虑齐次固支边界条件，薄板弯曲的强形式系统为

其中 ，从而

为建立混合弱形式，选择弯矩空间与挠度空间：

定义双线性形式 与 ：

推导混合弱形式：

1. 对本构方程与测试函数 作内积并积分：

   

   

   注意 。 对第二项做两次分部积分，并利用固支边界条件，得

   

   

   因此第一式化为

   

   

2. 对平衡方程与测试函数 相乘并积分：

   

   

   即

   

   

综上，混合弱形式为：求 使得

上述混合弱形式同样对应一个鞍点泛函。定义 Hellinger-Reissner 泛函 ：

其中 对应于弯曲余能， 作为约束项引入拉格朗日乘子 。

Hellinger-Reissner 变分原理表述为：混合弱形式的解 是 的鞍点：

Proposition 3.3.1. 若 是 Hellinger-Reissner 泛函的鞍点，则它们满足强形式的本构方程与平衡方程。

Proof. 鞍点条件等价于 在 处对任意方向 的一阶变分为零。

1. 对弯矩变量的变分：

   

   

   在驻值点令其为零，得

   

   

   展开积分：

   

   

   对第二项作逆向两次分部积分，并利用固支边界条件使边界项消失，可得

   

   

   于是

   

   

   由 的任意性，得本构方程 。

2. 对挠度变量的变分：

   

   

   在驻值点令其为零，得

   

   

   即

   

   

   由任意性得平衡方程 ，即 。

综上得到强形式系统，并由本构消去 可得双调和方程。证毕。 ⁠